민족 최대의 명절인 설 연휴가 며칠 전 끝났다. 2007년도 지난해는 은 정해(丁亥)년, 2008년 올해는 무자(戊子)년이라고 하는데, 해가 바뀔 때마다 그 해의 간지는 어떻게 정해지는 것일까? 60간지는 갑(甲), 을(乙), 병(丙), 정(丁), 무(戊), 기(己), 경(庚), 신(申), 임(壬), 계(癸)라는 10개의 천간과 자(子), 축(丑), 인(寅), 묘(卯), 진(辰), 사(巳), 오(午), 미(未), 신(申), 유(酉), 술(戌), 해(亥)라는 12개의 지지가 순서대로 결합되어 그 해의 이름이 정해진다. 그런데 10개와 12개를 조합하면 10×12=120(개)의 간지가 나와야 하는데, 왜 60간지라고 하는 것일까?

간지를 정할 때에는 앞자리를 고정시키고 뒷자리만 증가시켜 빠짐없이 120개의 조합을 만들어 내는 것이 아니라, 앞자리와 뒷자리가 동시에 한 자리씩 증가하여 10개의 천간과 12개의 지지가 순서대로 맞물려 갑자, 을축, 병인, 정묘 … 계유, 갑술, 을해와 같이 대응하여 60개가 된다. 그러므로 120개의 조합 중에서 갑축, 갑묘, 갑사 등과 같은 이름은 만들어지지 않는다.

　자, 이쯤되면 이 60간지 속에 어떤 수학적 규칙이 들어있을 것이라는 호기심이 생기지 않는가? 10, 12와 60…. 무엇이 떠오를까? 바로 최소공배수가 그것이다. 차근차근히 따져보기로 하자. 10의 배수인 10, 20, 30, 40…과 12의 배수인 12, 24, 36, 48, 60, 72… 중에서 공통된 가장 작은 수, 즉 최소공배수가 바로 60이다. 10개의 천간과 12개의 지지의 최소공배수가 60이 되어 똑같은 간지가 60년 만에 한 번씩 돌아오게 되는 것이다.

　만약 9개의 천간과 12개의 지지를 사용했다면, 위와 같은 방법으로는 36개의 간지가 만들어지게 되며, 5개의 천간과 9개의 지지를 사용하면 45개의 간지가 만들어지게 되는 것이다. 훨씬 많은 천간과 지지를 사용했는 데도 만들어진 간지의 수는 더 적어질 수도 있다는 게 최소공배수의 마술인 셈이다.

　그러면 여기서 잠시 다음 문제를 풀어보자. “우리 동네 버스 정류장에서는 8분마다 오는 노란색 버스와 6분마다 오는 파란색 버스가 있다. 오전 8시에 두 버스가 정류장에 동시에 왔다면, 그 다음 두 버스가 동시에 오는 시각은 몇시 몇분일까?” 정답은 8시24분이다. 다들 이미 눈치챘을 테지만, 8과 6의 최소공배수를 구하면 된다. 즉, 노란색 버스는 8분마다 오므로, 8, 16, 24분…에 올 것이고, 파란색 버스는 6, 12, 18, 24분…에 오게 되어 8시24분에 두 버스가 동시에 오게 될 것이다. 이와 같이 우리가 오래 전부터 사용했던 간지와 위의 초등학교 수학 교과서의 문제는 모두 최소공배수의 문제였던 것이다.

　이야기를 좀더 넓혀 볼까? 신년이면 많은 사람들이 새해의 운수와 자신의 사주팔자에 대해 관심을 갖는다. 여기서 사주(四柱)란, 사람의 운명을 결정짓는 4개의 기둥, 즉 자신이 태어난 해, 월, 일, 시를 가리키는 말이다. 우리가 지금 생각하듯이 12개월이 1년, 30일이 한 달이 아니라 해와 월, 일, 시 모두 60간지로 읽히게 된다. 그러므로 태어난 해는 1년 후에 60간지를 따라 한 자리 이동하여 60년 후 1회전하고, 월은 1개월 후 한 자리를 이동하며 60개월(5년) 후 1회전한다. 일은 1일 후 한 자리 이동하여 60일 후 1회전한다. 시는 두 시간(옛날의 중국과 우리나라에서의 12지에 따른 시간 간격) 후에 한 자리 이동하여 120시(5일) 후에 1회전하여 돌아온다. 그렇다면, 사주가 몇 종류가 있는지는 간단한 계산으로 쉽게 알 수 있다. 60×60×60×120=2592만. 즉, 2592만종류의 사주가 있게 된다. 그러므로 내가 타고난 사주의 확률은 2592만분의 1로 매우 희귀하다고 볼 수 있다. 물론, 이러한 역학에서 말하는 사주팔자에 대해 같은해, 같은날, 같은시에 태어난 사람들이 유사한 운명을 겪는지의 여부는 직접 조사해 봐야 하겠지만 말이다.

　마지막으로 이러한 간지를 생각하다 떠오르는 몇가지 궁금한 것을 생각해 보자. 천간을 10개로, 지지를 12개로 정한 이유는 무엇일까? 전설에는 중국의 황제(黃帝) 때 하늘에서 10간과 12지를 내려주었다고 전해지는데 하늘이 아무 이유도 없이 무작정 10개의 천간과 12개의 간지를 주지는 않았을 것이다. 수학사(數學史)적으로는 그 당시 10진법과 12진법을 사용하는 문명이 통합되어 이로부터 60진법이 생겨났다고 추정하기도 한다.

　또 왜 120개의 이름을 모두 사용하지 않고 위와 같은 방법으로 간지의 이름을 만들어 60개만 사용했을까? 60간지는 옛날 사람들의 수명을 생각하여 60년을 한 사람의 일생, 즉 한 단위로 보고 60진법을 사용한 조상들의 지혜가 아니었을까? 만약 120개의 간지가 있었다면, 사람의 일생 중 한 번도 회갑잔치를 못했을지도 모른다. 물론 요즘은 수명이 늘어 120세까지 사는 사람도 가끔 나타나지만 말이다. 60간지가 60진법에서의 한 단위이며 10과 12의 최소공배수라는 것은 어쩌면 우리의 일생이 60세부터 또 다른 단위의 인생의 시작이라는 말을 대신해 주고 있는 것은 아닐까?

<이화영 교사 | 수학과 문화 연구소>

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